2022AMC10真題中文版

在數(shù)論方面，最近幾年的數(shù)論題目風(fēng)格延續(xù)了下來。本次考試共有5道題，與往年相比，對(duì)初等數(shù)論基本定理的考察較為淡化，而更加重視了不定方程的重要性。
 

第7題是一道常規(guī)題，涉及到最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的問題，思路與往年類似。第19題則考察了分解質(zhì)因數(shù)法求最小公倍數(shù)，以及同余運(yùn)算，綜合考察了數(shù)論知識(shí)點(diǎn)，難度適中。
 

第17、20和25題都涉及不定方程的知識(shí)，且類型各異。第17題考察了線性不定方程的處理方法，第20題是之前出現(xiàn)過類似題目的延伸，第25題需要利用同余技巧簡(jiǎn)化并求解不定方程，屬于常規(guī)知識(shí)的新穎組合，對(duì)能力要求較高。
 

需要注意的是，在A卷中，分解質(zhì)因數(shù)的題目較少，僅在第7和19題略有涉及。根據(jù)命題規(guī)律推測(cè)，B卷可能會(huì)增加相關(guān)題目的出現(xiàn)概率。此外，進(jìn)制轉(zhuǎn)換的題目也有可能在B卷中出現(xiàn)，而中國剩余定理、威爾遜定理、費(fèi)馬小定理和歐拉定理可能仍然不會(huì)得到過多的考察機(jī)會(huì)。

在計(jì)數(shù)方面，本次考試共出了5道題目。

其中，第8題是一個(gè)基礎(chǔ)的求平均值問題;第9題是一道非常常規(guī)的幾何圖形計(jì)數(shù)問題，相較于以往的幾何圖形計(jì)數(shù)問題，難度明顯降低;第14題是一道具有AMC(美國數(shù)學(xué)競(jìng)賽)風(fēng)格的排列題，需要通過分析現(xiàn)象來推導(dǎo)結(jié)論，并進(jìn)行計(jì)算;第22題和24題則是兩道組合難題。

其中，第22題與2012年B卷的第22題非常相似，展現(xiàn)了認(rèn)真刷題的價(jià)值。第24題需要進(jìn)行分類討論，計(jì)算過程繁瑣，但也可以通過簡(jiǎn)單地討論所有情況，并巧妙地利用模5余1的方法快速找到答案。

在代數(shù)部分，本次考試延續(xù)了以往的特點(diǎn)，題量較大，但簡(jiǎn)單題目居多，難題零星出現(xiàn)，其中難題主要集中在函數(shù)和數(shù)列方面。整體而言，本次代數(shù)部分的難度并不高。

具體來看，第1題依然是基礎(chǔ)運(yùn)算問題。前10題中有多道涉及分?jǐn)?shù)、比例以及代數(shù)式處理的相關(guān)問題。第11題是一個(gè)亮點(diǎn)，考察了乘方運(yùn)算的知識(shí)。這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在AMC8中經(jīng)常出現(xiàn)，但在AMC10中出現(xiàn)得較少。這道題全面考察了乘方運(yùn)算，是一道好題。

第16題是一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的三次多項(xiàng)式韋達(dá)定理問題。雖然難度較低，但近年來類似題目出現(xiàn)頻率較高，需要引起重視。第17題是一個(gè)涉及代數(shù)背景的線性不定方程題，考察了將無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)的知識(shí)點(diǎn)，而該知識(shí)點(diǎn)去年也出現(xiàn)過。第20題是一個(gè)涉及數(shù)列背景的不定方程題，與2010年B卷的第24題相似，難度稍有降低，再次凸顯了刷題的重要性。

在幾何部分，本次考試的題型、題量和難度分布基本保持平穩(wěn)，但也有一些亮點(diǎn)和變化。

其中，第5題是對(duì)2018年B卷第17題的簡(jiǎn)化版本；第10題主要涉及幾何，但代數(shù)式處理的能力會(huì)對(duì)解題速度產(chǎn)生較大影響；第13題考察了角平分線定理和相似三角形，其中角平分線定理是一個(gè)較少出現(xiàn)的考點(diǎn)，上次在AMC10考題中出現(xiàn)還要追溯到2010年A卷第16題。第15題連續(xù)第二年考察圓內(nèi)接四邊形的知識(shí)，這個(gè)考點(diǎn)在過去的AMC10級(jí)別中幾乎不被考察，但近兩年連續(xù)出現(xiàn)，需要引起重視。第21題也是一個(gè)幾何方面的亮點(diǎn)，連續(xù)第二年考察學(xué)生對(duì)斜面的理解，難度略高于2021年秋季A卷的第17題，但思路仍然具有相似之處。

這道題可以通過邏輯方法列出方程組并求解，是一道相對(duì)新穎的題目。然而，問題的問法有待商榷。因?yàn)閷W(xué)生可能會(huì)錯(cuò)誤地列出某些方程，但仍能得到正確答案。如果改成問某兩類人群人數(shù)之差類似的問題，會(huì)更好一些。